Понятие движения (окончание)

Докажем следующую теорему:

Теорема

При движении отрезок отображается на отрезок.

Доказательство

Пусть при заданном движении плоскости концы М и N отрезка MN отображаются в точки М₁ и N₁ (рис. 327). Докажем, что весь отрезок MN отображается на отрезок M₁N₁. Пусть Р — произвольная точка отрезка MN, Р₁ — точка, в которую отображается точка Р. Тогда МР + PN = MN. Так как при движении расстояния сохраняются, то

M₁N₁ = MN, М₁Р₁ = МР и N₁P₁ = NP. (1)

Рис. 327

Из равенств (1) получаем, что М₁Р₁ + P₁N₁ = M₁N₁, и, значит, точка Р₁ лежит на отрезке M₁N₁ (если предположить, что это не так, то будет выполняться неравенство М₁Р₁ +P₁N₁ > M₁N₁). Итак, точки отрезка MN отображаются в точки отрезка M₁N₁.

Нужно ещё доказать, что в каждую точку Р₁ отрезка M₁N₁ отображается какая-нибудь точка Р отрезка MN. Докажем это. Пусть Р₁ — произвольная точка отрезка M₁N₁, и точка Р при заданном движении отображается в точку Р₁. Из соотношений (1) и равенства M₁N₁ = М₁Р₁ + P₁N₁ следует, что МР + PN = MN, и, значит, точка Р лежит на отрезке MN. Теорема доказана.

Следствие

При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

В самом деле, в силу доказанной теоремы при движении каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок, поэтому и треугольник отображается на треугольник с соответственно равными сторонами, т. е. на равный треугольник.

Пользуясь доказанной теоремой, нетрудно убедиться в том, что при движении прямая отображается на прямую, луч — на луч, а угол — на равный ему угол.

<<< К началу